Question

已知函数f（x）=x²-lnx-ax，a∈R．
（Ⅰ）若存在x∈（0，+∞），使得f（x）＜0，求a的取值范围；
（Ⅱ）若f（x）=x有两个不同的实数解u，v（0＜u＜v），证明：f′（

u+v

2

）＞1．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）当x∈（0，+∞）时，f（x）＜0等价于x-

lnx

x

＜a．由此利用导数的性质能求出a的取值范围．
（Ⅱ）由已知条件推导出a=u+v-

lnu-lnv

u-v

-1．f′（

u+v

2

）=

lnu-lnv

u-v

-

2

u+v

+1，设h（u）=lnu-lnv-

2(u-v)

u+v

，由此利用函数的单调性能证明f′（

u+v

2

）＞1．

解答： （Ⅰ）解：当x∈（0，+∞）时，f（x）＜0等价于x-

lnx

x

＜a．
令g（x）=x-

lnx

x

，则g′（x）=

x2-1+lnx

x2

．
当x∈（0，1）时，g′（x）＜0；
当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0．
g（x）有最小值g（1）=1．…（4分）
∴a的取值范围是（1，+∞）．…（5分）
（Ⅱ）证明：∵f（x）=x，即x²-lnx=（a+1）x有两个不同的实数解u，v．
∴u²-lnu=（a+1）u，v²-lnv=（a+1）v．
∴（u+v）（u-v）-（lnu-lnv）=（a+1）（u-v）．…（7分）
由u-v＜0，解得a=u+v-

lnu-lnv

u-v

-1．
又f′（x）=2x-

1

x

-a，
∴f′（

u+v

2

）=（u+v）-

2

u+v

-（u+v）+

lnu-lnv

u-v

+1
=

lnu-lnv

u-v

-

2

u+v

+1．…（9分）
设h（u）=lnu-lnv-

2(u-v)

u+v

，
则当u∈（0，v）时，h′（u）=

(u-v)2

u(u+v)2

＞0，
h（u）在（0，v）单调递增，h（u）＜h（v）=0，
从而

lnu-lnv

u-v

-

2

u+v

＞0，
∴f′（

u+v

2

）＞1．（12分）

点评：本题考查实数的取值范围的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意导数性质的灵活运用．