Question

【题目】如图，现要在边长为100m的正方形ABCD内建一个交通“环岛”．以正方形的四个顶点为圆心在四个角分别建半径为xm（x不小于9）的扇形花坛，以正方形的中心为圆心建一个半径为 m的圆形草地．为了保证道路畅通，岛口宽不小于60m，绕岛行驶的路宽均小于10m．

（1）求x的取值范围；（运算中 取1.4）
（2）若中间草地的造价为a元/m2 ， 四个花坛的造价为 元/m2 ， 其余区域的造价为 元/m2 ， 当x取何值时，可使“环岛”的整体造价最低？

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意可知，

，

解得， ，

又由 ﹣ x2≥10，

解可得﹣14≤x≤14，

即9≤x≤14

（2）解：记“环岛”的整体造价为y元．

则由题意得，

= ．

令 ，

则

=﹣4x ．

由f′（x）=0得，

x=10或x=15．

∴当x=10时，y取最小值．

答：当x=10m时，可使“环岛”的整体造价最低

【解析】（1）根据题目中的不等关系列出关于x的不等式组，求解即可；（2）建立“环岛”的整体造价y与x的关系，然后利用导数求出y取最小值时x的取值即可．