Question

【题目】已知椭圆C中心在原点，焦点在坐标轴上，且该椭圆经过点（ ， ）和点 ．求
（1）椭圆C的方程；
（2）P，Q，M，N四点在椭圆C上，F1为负半轴上的焦点，直线PQ，MN都过F1且 ，求四边形PMQN的面积最小值和最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意，设椭圆的方程为mx2+ny2=1（m，n＞0，m≠n），

代入点（ ， ）和点 ，可得

m+ n=1， m+n=1，

解得m=1，n= ，

即有椭圆方程为x2+ =1

（2）解：由 ，可得直线PQ，MN垂直．

（ⅰ）若MN与PQ中一条斜率不存在，另一条斜率为0，

则四边形PMQN的面积S= 2a =2b2=2；

（ⅱ）若PQ与NM的斜率均存在，

设PQ：y=kx+1与椭圆方程联立

消去y可得（2+k2）x+2kx﹣1=0，则△=8（k2+1）＞0，

设P（x1，y1），Q（x2，y2），

则x1+x2=﹣ ，x1x2=﹣ ，

∴|PQ|= |x1﹣x2|= =2 ；

同理可得|MN|=2 ．

∴S= |PQ||MN|=4 = = ，

由k2+ ≥2，得 ≤S＜2．

由（ⅰ）（ⅱ）知，Smin= ，Smax=2

【解析】（1）由题意，设椭圆的方程为mx2+ny2=1（m，n＞0，m≠n），代入两点的坐标，建立方程组，从而可求椭圆的几何量，即可求椭圆C的方程；（2）分斜率存在与存在分别讨论，利用直线与椭圆联立，根据韦达定理及弦长公式，确定面积的表达式，运用基本不等式可得最值，即可求得结论．