Question

【题目】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．

（1）证明：BE⊥DC；
（2）求直线BE与平面PBD所成角的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：以点A为原点建立空间直角坐标系（如图），

依题意，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．

可得B（1，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2）．E（1，1，1）．

那么： =（0，1，1）， =（2，0，0）

=0×2+1×0+1×0=0

所以，BE⊥DC．

得证

（2）解：设n=（x，y，z）为平面PBD的法向量．由（1）各点的坐标可知，

那么： =（﹣1，2，0）， =（﹣1，0，2）， =（0，1，1）

∵法向量余平面内任何一条向量都垂直：

联立： ，即： ，不妨令y=1，则x=2，z=1

解得其中一条法向量n=（2，1，1）．

设直线BE与平面PBD所成角为θ，

sinθ=|cos＜n， ＞|=| |= = ．

∴cosθ= ，

所以，直线BE与平面PBD所成角的余弦值为 ．

【解析】（1）由题意：PA⊥底面ABCD，底面是一个直角梯形，以点A为原点建立空间直角坐标系，依次计算：B，C，D，P，的空间坐标，根据向量坐标运算法则，证明BE⊥DC；（2）设n=（x，y，z）为平面PBD的法向量．利用法向量与平面内任何一条直线都垂直的坐标关系，解出法向量坐标，向量之间的夹角公式，即可解出直线与平面所成的角．
【考点精析】本题主要考查了空间角的异面直线所成的角的相关知识点，需要掌握已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则才能正确解答此题．