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【题目】已知二次函数y=f(x)的图象过坐标原点,其导函数f′(x)=6x﹣2,数列{an}前n项和为Sn , 点(n,Sn)(n∈N*)均在y=f(x)的图象上.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设 ,Tn是数列{bn}的前n项和,求当 对所有n∈N*都成立m取值范围.

【答案】
(1)解:依题意,f(x)=3x2﹣2x,

∵点(n,Sn)(n∈N*)均在y=f(x)的图象上,

∴Sn=f(n)=3n2﹣2n,

当n≥2时,Sn1=3(n﹣1)2﹣2(n﹣1),

两式相减得:an=6n﹣5(n≥2),

又∵a1=S1=3﹣2=1满足上式,

∴数列{an}的通项公式an=6n﹣5


(2)解:由(1)可知 = = ),

∴数列{bn}的前n项和Tn= (1﹣ + +…+ )= (1﹣ )=

∵Tn= (1﹣ )随着n的增大而增大,

∴Tn≥T1= =

又∵ 对所有n∈N*都成立,

,解得:m≤


【解析】(1)通过图象特征及导函数可知f(x)=3x2﹣2x,并代入点(n,Sn)(n∈N*)整理可知Sn=3n2﹣2n,进而与Sn1=3(n﹣1)2﹣2(n﹣1)(n≥2)作差,计算即得结论;(2)通过(1)裂项可知bn= ),进而并项相加可知Tn= ,通过Tn= (1﹣ )随着n的增大而增大可知 ,进而计算可得结论.
【考点精析】利用二次函数的性质和基本求导法则对题目进行判断即可得到答案,需要熟知当时,抛物线开口向上,函数在上递减,在上递增;当时,抛物线开口向下,函数在上递增,在上递减;若两个函数可导,则它们和、差、积、商必可导;若两个函数均不可导,则它们的和、差、积、商不一定不可导.

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