【题目】已知椭圆C: =1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2 , 离心率为e.直线l:y=ex+a与x轴、y轴分别交于点A、B,M是直线l与椭圆C的一个公共点,P是点F1关于直线l的对称点,设
=λ
.
(1)证明:λ=1﹣e2;
(2)若λ= ,△MF1F2的周长为6;写出椭圆C的方程;
(3)确定λ的值,使得△PF1F2是等腰三角形.
【答案】
(1)证明:因为A、B分别是直线l:y=ex+a与x轴、y轴的交点,
所以A、B的坐标分别是(﹣ ,0),(0,a).
由 得
这里c=
.
所以点M的坐标是(﹣c, ).
由 =λ
得(﹣c+
,
)=λ(
,a).
即 ,解得λ=1﹣e2
(2)解:当λ= 时,e=
,所以a=2c.
由△PF1F2的周长为6,得2a+2c=6.
所以a=2,c=1,b2=a2﹣c2=3.
椭圆方程为 .
(3)解:因为PF1⊥l,所以∠PF1F2=90°+∠BAF1为钝角,要使△PF1F2为等腰三角形,必有|PF1|=|F1F2|,
即 |PF1|=c.
设点F1到l的距离为d,由 |PF1|=d=
=
=c.
得 =e.
所以e2= ,于是λ=1﹣e2=
.
即当λ= 时,△PF1F2为等腰三角形
【解析】(1)先根据A、B分别是直线l:y=ex+a与x轴、y轴的交点表示出A、B的坐标,然后联立直线方程与椭圆方程可得到交点M的坐标,再根据 =λ
得(﹣c+
,
)=λ(
,a)根据对应坐标相等可得到
,从而得到λ=1﹣e2 , 等证.(2)当λ=
时可得到e的值,进而得到a,c的关系,再由△PF1F2的周长为6可得到2a+2c=6,进而可求出a,c的值,从而可得到b的值,确定椭圆方程.(3)根据PF1⊥l,可得到∠PF1F2=90°+∠BAF1为钝角,进而要使得△PF1F2为等腰三角形,必有|PF1|=|F1F2|,即
|PF1|=c成立,然后设点F1到l的距离为d,根据
|PF1|=d=
=c可得到
=e,进而可得到e的值,求出λ的值.
【考点精析】通过灵活运用椭圆的标准方程,掌握椭圆标准方程焦点在x轴:,焦点在y轴:
即可以解答此题.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知二次函数y=f(x)的图象过坐标原点,其导函数f′(x)=6x﹣2,数列{an}前n项和为Sn , 点(n,Sn)(n∈N*)均在y=f(x)的图象上.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设 ,Tn是数列{bn}的前n项和,求当
对所有n∈N*都成立m取值范围.
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【题目】已知函数,
.
(1)若曲线与
在公共点
处有相同的切线,求实数
的值;
(2)当时,若曲线
与
在公共点
处有相同的切线,求证:点
唯一;
(3)若,
,且曲线
与
总存在公切线,求:正实数
的最小值.
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【题目】如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD为正方形,PD=DC,E,F分别是AB,PB的中点
(1)求证:EF⊥CD;
(2)在平面PAD内求一点G,使GF⊥平面PCB,并证明你的结论;
(3)求DB与平面DEF所成角的正弦值.
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【题目】已知函数,
.
(1)当时,求函数
的最小值;
(2)当时,讨论函数
的单调性;
(3)是否存在实数,对任意的
,
,且
,有
恒成立,若存在求出
的取值范围,若不存在,说明理由.
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【题目】设事件A表示“关于x的一元二次方程x2+ax+b2=0有实根”,其中a,b为实常数. (Ⅰ)若a为区间[0,5]上的整数值随机数,b为区间[0,2]上的整数值随机数,求事件A发生的概率;
(Ⅱ)若a为区间[0,5]上的均匀随机数,b为区间[0,2]上的均匀随机数,求事件A发生的概率.
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【题目】定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f(x+5)=16,当x∈(﹣1,4]时,f(x)=x2﹣2x , 则函数f(x)在区间[0,2016]上的零点个数是 .
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