Question

【题目】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD=DC，E，F分别是AB，PB的中点

（1）求证：EF⊥CD；
（2）在平面PAD内求一点G，使GF⊥平面PCB，并证明你的结论；
（3）求DB与平面DEF所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：以DA，DC，DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系（如图），

设AD=a，则D（0，0，0）、A（a，0，0）、B（a，a，0）、C（0，a，0）、E（a， ，0）、F（ ， ， ）、P（0，0，a）．

∵ =（﹣ ，0， ）， =（0，a，0），

∴ =（﹣ ，0， ）（0，a，0）=0，

∴ ⊥

∴EF⊥DC

（2）解：设G（x，0，z），则G∈平面PAD．

=（x﹣ ，﹣ ，z﹣ ），

=（x﹣ ，﹣ ，z﹣ ）（a，0，0）=a（x﹣ ）=0，∴x= ；

=（x﹣ ，﹣ ，z﹣ ）（0，﹣a，a）= +a（z﹣ ）=0，∴z=0．

∴G点坐标为（ ，0，0），即G点为AD的中点

（3）解：设平面DEF的法向量为 =（x，y，z）．

由 得：

取x=1，则y=﹣2，z=1，

∴ =（1，﹣2，1）．

cos＜ ， ＞= = = ，

∴DB与平面DEF所成角的正弦值的大小为

【解析】以DA、DC、DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设AD=a，可求出各点的坐标；（1）求出EF和CD的方向向量，根据向量垂直的充要条件，可证得 ⊥ ，即EF⊥DC．（2）设G（x，0，z），根据线面垂直的性质，可得 = =0，进而可求出x，z值，得到G点的位置；（3）求出平面DEF的法向量为 ，及DB的方向 的坐标，代入向量夹角公式，可得DB与平面DEF所成角的正弦值【考点精析】根据题目的已知条件，利用直线与平面垂直的判定和直线与平面垂直的性质的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想；垂直于同一个平面的两条直线平行．