【题目】定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f(x+5)=16,当x∈(﹣1,4]时,f(x)=x2﹣2x , 则函数f(x)在区间[0,2016]上的零点个数是 .
【答案】605
【解析】解:∵f(x)+f(x+5)=16, f(x+5)+f(x+10)=16,
两式相减得,f(x)=f(x+10),
故f(x)为周期为10的函数,x∈(﹣1,9)时,
令f(x)=x2﹣2x=0得:x2=2x ,
在同一坐标系中作出y=x2与y=2x的图象如下,
由图知,当x∈(﹣1,4]时,函数f(x)=x2﹣2x有3个零点(y轴右侧的两个零点为2和4),
∵f’(x)=2x﹣2xln2,∴当x∈(4,9)时,f’(x)<0,函数单调减,即无零点,
综上:函数f(x)在一个周期内有三个零点,2016=10×201+6,
就是说在区间在[0,2016]上有201个完整周期,这201个周期内共603个零点,在[0,6]内有二个零点,
∴函数f(x)在[0,2016]上共有605个零点,
所以答案是:605.
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【题目】已知椭圆C: =1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2 , 离心率为e.直线l:y=ex+a与x轴、y轴分别交于点A、B,M是直线l与椭圆C的一个公共点,P是点F1关于直线l的对称点,设
=λ
.
(1)证明:λ=1﹣e2;
(2)若λ= ,△MF1F2的周长为6;写出椭圆C的方程;
(3)确定λ的值,使得△PF1F2是等腰三角形.
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【题目】已知椭圆方程是 =1,F1 , F2是它的左、右焦点,A,B为它的左、右顶点,l是椭圆的右准线,P是椭圆上一点,PA、PB分别交准线l于M,N两点.
(1)若P(0, ),求
的值;
(2)若P(x0 , y0)是椭圆上任意一点,求 的值;
(3)能否将问题推广到一般情况,即给定椭圆方程是 =1(a>b>0),P(x0 , y0)是椭圆上任意一点,问
是否为定值?证明你的结论.
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【题目】综合题。
(1)现有5名男生和3名女生.若从中选5人,且要求女生只有2名,站成一排,共有多少种不同的排法?
(2)从{﹣3,﹣2,﹣1,0,1,2,3,4}中任选三个不同元素作为二次函数y=ax2+bx+c的系数,问能组成多少条经过原点且顶点在第一象限或第三象限的抛物线?
(3)已知( +2x)n , 若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列,求展开式中二项式系数最大项的系数.
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【题目】(本小题满分12分)
数学 | 88 | 83 | 117 | 92 | 108 | 100 | 112 |
物理 | 94 | 91 | 108 | 96 | 104 | 101 | 106 |
为了分析某个高三学生的学习状态,对其下一阶段的学习提供指导性建议.现对他前7次考试的数学成绩x、物理成绩y进行分析.下面是该生7次考试的成绩.
(I)他的数学成绩与物理成绩哪个更稳定?请给出你的证明;
(II)已知该生的物理成绩y与数学成绩x是线性相关的,若该生的物理成绩达到115分,请你估计他的数学成绩大约是多少?并请你根据物理成绩与数学成绩的相关性,给出该生在学习数学、物理上的合理建议.
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【题目】为了解某校高三毕业班报考体育专业学生的体重(单位:千克)情况,将从该市某学校抽取的样本数据整理后得到如下频率分布直方图.已知图中从左至右前3个小组的频率之比为1:2:3,其中第2小组的频数为12. (I)求该校报考体育专业学生的总人数n;
(Ⅱ)若用这所学校的样本数据来估计该市的总体情况,现从该市报考体育专业的学生中任选3人,设ξ表示体重超过60千克的学生人数,求ξ的分布列和数学期望.
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【题目】某联欢晚会举行抽奖活动,举办方设置了甲、乙两种抽奖方案,方案甲的中奖率为,中奖可以获得2分;方案乙的中奖率为
,中奖可以获得3分;未中奖则不得分.每人有且只有一次抽奖机会,每次抽奖中奖与否互不影响,晚会结束后凭分数兑换奖品.
(1)若小明选择方案甲抽奖,小红选择方案乙抽奖,记他们的累计得分为X,求X≤3的概率;
(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖,问:他们选择何种方案抽奖,累计得分的数学期望较大?
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