【题目】综合题。
(1)现有5名男生和3名女生.若从中选5人,且要求女生只有2名,站成一排,共有多少种不同的排法?
(2)从{﹣3,﹣2,﹣1,0,1,2,3,4}中任选三个不同元素作为二次函数y=ax2+bx+c的系数,问能组成多少条经过原点且顶点在第一象限或第三象限的抛物线?
(3)已知( +2x)n , 若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列,求展开式中二项式系数最大项的系数.
【答案】
(1)解:分三步完成:先从3名女生中选出2名,有 种方法,再从5名男生中选出3名,有
种方法,将选择出的5人全排列,有
,
根据分步计数原理,共有 =3600种
(2)解:∵抛物线过原点,∴c=0,c只有1种取法;
当顶点在第一象限时,必开口向下,且对称轴在y轴右边,∴a<0,b>0,
∴a可取﹣1,﹣2,﹣3,有3种方法;b可取1,2,3,4,有4种方法,
共得到3×4=12条抛物线.
当顶点在第三象限时,必开口向上,且对称轴在y轴左边,∴a>0,b>0,
即a,b只能在1,2,3,4中取,由于a,b不相同,所以有 种取法,
得到 条抛物线…(8分) 所以共有不同的抛物线条数为
+12=24条
(3)解:( +2x)n的若展开式通项
∵第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列,
∴ ,解得n=7或n=14,
∴当n=7时,二项式系数最大的项是T4和T5,
其中T4= ,T5=
,系数分别为
,70.
∴当n=14时,二项式系数最大的项是T8= ,系数为
=3432
【解析】(1)分三步完成:先从3名女生中选出2名,有 种方法,再从5名男生中选出3名,有
种方法,将选择出的5人全排列,有
,根据分步计数原理即可得出.(2)由抛物线过原点,可得c=0,c只有1种取法.对顶点分类讨论:当顶点在第一象限时,必开口向下,且对称轴在y轴右边,可得a<0,b>0.当顶点在第三象限时,必开口向上,且对称轴在y轴左边,可得a>0,b>0,进而得出.(3)(
+2x)n的若展开式通项
,由第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列,可得
,解得n,再利用二项式定理展开式的通项公式即可得出.
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【题目】已知函数,
.
(1)若曲线与
在公共点
处有相同的切线,求实数
的值;
(2)当时,若曲线
与
在公共点
处有相同的切线,求证:点
唯一;
(3)若,
,且曲线
与
总存在公切线,求:正实数
的最小值.
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【题目】设事件A表示“关于x的一元二次方程x2+ax+b2=0有实根”,其中a,b为实常数. (Ⅰ)若a为区间[0,5]上的整数值随机数,b为区间[0,2]上的整数值随机数,求事件A发生的概率;
(Ⅱ)若a为区间[0,5]上的均匀随机数,b为区间[0,2]上的均匀随机数,求事件A发生的概率.
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【题目】从一批有10个合格品与3个次品的产品中,一件一件地抽取产品,设各个产品被抽取到的可能性相同.在下列三种情况下,分别求出直到取出合格品为止时所需抽取次数x的分布列.
(1)每次取出的产品都不放回此批产品中;
(2)每次取出的产品都立即放回此批产品中,然后再取出一件产品;
(3)每次取出一件产品后总以一件合格品放回此批产品中.
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【题目】定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f(x+5)=16,当x∈(﹣1,4]时,f(x)=x2﹣2x , 则函数f(x)在区间[0,2016]上的零点个数是 .
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【题目】已知函数f(x)的定义域为R,且f(x)不为常值函数,有以下命题: ①函数g(x)=f(x)+f(﹣x)一定是偶函数;
②若对任意x∈R都有f(x)+f(2﹣x)=0,则f(x)是以2为周期的周期函数;
③若f(x)是奇函数,且对于任意x∈R,都有f(x)+f(2+x)=0,则f(x)的图象的对称轴方程为x=2n+1(n∈Z);
④对于任意的x1 , x2∈R,且x1≠x2 , 若 >0恒成立,则f(x)为R上的增函数,
其中所有正确命题的序号是 .
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