Question

【题目】已知函数f（x）的定义域为R，且f（x）不为常值函数，有以下命题： ①函数g（x）=f（x）+f（﹣x）一定是偶函数；
②若对任意x∈R都有f（x）+f（2﹣x）=0，则f（x）是以2为周期的周期函数；
③若f（x）是奇函数，且对于任意x∈R，都有f（x）+f（2+x）=0，则f（x）的图象的对称轴方程为x=2n+1（n∈Z）；
④对于任意的x1 ， x2∈R，且x1≠x2 ， 若 ＞0恒成立，则f（x）为R上的增函数，
其中所有正确命题的序号是 ．

Answer 1

【答案】①③④
【解析】解：∵g（﹣x）=f（﹣x）+f（x）=g（x），故函数g（x）=f（x）+f（﹣x）一定是偶函数，故①正确；②若对任意x∈R都有f（x）+f（2﹣x）=0，则f（x）的图象关于点（1，0）对称，但不一定是周期函数，故错误；③若f（x）是奇函数，且对于任意x∈R，都有f（x）+f（2+x）=0，则函数的周期为4，则f（x）的图象的对称轴方程为x=2n+1（n∈Z），故正确；④对于任意的x1 ， x2∈R，且x1≠x2 ， 若 ＞0恒成立，则f（x）为R上的增函数，故正确， 所以答案是：①③④
【考点精析】解答此题的关键在于理解命题的真假判断与应用的相关知识，掌握两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．