Question

17．设f（x）=sin（2x+φ）+$\sqrt{3}$cos（2x+φ）（|φ|＜$\frac{π}{2}$），其图象关于直线x=0对称，则f（x）的单调递减区间为[kπ，kπ+$\frac{π}{2}$]（k∈Z）．

Answer 1

分析 由和差角公式化简由对称性可得φ=$\frac{π}{6}$，进而可得f（x）=2cos2x，解不等式2kπ≤2x≤2kπ+π可得．

解答 解：化简可得f（x）=sin（2x+φ）+$\sqrt{3}$cos（2x+φ）
=2[$\frac{1}{2}$sin（2x+φ）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos（2x+φ）=2sin（2x+φ+$\frac{π}{3}$），
∵f（x）的图象关于直线x=0对称，
∴φ+$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$，由|φ|＜$\frac{π}{2}$可得φ=$\frac{π}{6}$，
∴f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{3}$）=2cos2x，
由2kπ≤2x≤2kπ+π可得kπ≤x≤kπ+$\frac{π}{2}$，
∴f（x）的单调递减区间为：[kπ，kπ+$\frac{π}{2}$]（k∈Z），
故答案为：[kπ，kπ+$\frac{π}{2}$]（k∈Z）．

点评 本题考查三角函数的图象和性质，涉及三角函数的对称性和单调性，属中档题．