Question

已知函数f（x）=e^-x（cosx+sinx），将满足f'（x）=0的所有正数x从小到大排成数列{x_n}．
（Ⅰ）证明数列{f{x_n}}为等比数列；
（Ⅱ）记S_n是数列{x_nf{x_n}}的前n项和，求．

Answer 1

解：（Ⅰ）证明：f'（x）=-e^-x（cosx+sinx）+e^-x（-sinx+cosx）=-2e^-xsinx．
由f'（x）=0，得-2e^-xsinx=0．
解出x=nπ，n为整数，从而x_n=nπ，n=1，2，3，f（x_n）=（-1）ⁿe^-nπ.．
所以数列{f{x_n}}是公比q=-e^-π的等比数列，且首项f（x₁）=q．
（Ⅱ）解：S_n=x₁f（x₁）+x₂f（x₂）++x_nf（x_n）=πq（1+2q++nq^n-1），
qS_n=πq（q+2q²++nqⁿ），
S_n-qS_n=πq（1+2q²++q^n-1-nqⁿ）
=，
从而
=
=
=．
因为，
所以．
分析：（1）先求导数，解出f'（x）=0的所有正数解x，求得数列{x_n}．从而可证明数列{f{x_n}}为等比数列．
（2）利用错位相减法求得Sn，从而求得，进而得解．
点评：本小题主要考查．函数求导，等比数列证明，错位相减的求和方法，及极限的求解等知识．是对知识的综合性考查，能力要求较高．