Question

已知函数f(x)=2sin(x+

π

4

)sin(

π

4

-x)+

3

sin2x
（1）求f（x）的最小正周期．
（2）在锐角△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且f（C）=1，c=2，sinB=2sinA，求△ABC的面积S．

Answer 1

分析：把函数解析式第一项利用积化和差公式化简后，提取2，再利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，
（1）找出解析式中ω的值，代入周期公式T=

2π

ω

，即可求出函数的最小正周期；
（2）由f（C）=1，把x=C代入函数解析式，根据C为锐角，利用特殊角的三角函数值求出C的度数，同时利用正弦定理化简sinB=2sinA，得到b=2a，再由c及cosC的值，利用余弦定理求出a²的值，最后由a，b及sinC的值表示出三角形ABC的面积，把求出a²的值代入即可求出三角形的面积S．

解答：解：f(x)=2sin(x+

π

4

)sin(

π

4

-x)+

3

sin2x
=cos

π

2

-cos2x+

3

sin2x
=2sin（2x-

π

3

），
（1）∵ω=2，∴T=

2π

2

=π；
（2）由f（C）=2sin（2C-

π

3

）=1，且C为锐角，
∴C=

π

4

，
又sinB=2sinA，根据正弦定理得：b=2a，又c=2，
根据余弦定理c²=a²+b²-2ab•cosC得：a²=

20-8 2

17

，
则△ABC的面积S=

1

2

ab•sinC=

2

2

a²=

10 2 -8

17

．

点评：此题考查了积化和差公式，两角和与差的正弦函数公式，正弦定理，余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．