Question

已知函数f（x）=x²-（2a+1）x+alnx（a＞0）
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在[1，2]上总存在x₁，x₂，使得（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）先求函数的定义域，然后求导函数，求出f'（x）=0的两个根，然后比较大小，确定a的范围，最后根据f'（x）＞0的解集为增区间，f'（x）＜0的解集为减区间；
（II）要使函数f（x）在[1，2]上总存在x₁，x₂，使得（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0成立，即使函数f（x）在[1，2]上不是单调递减函数，根据（I）可求出a的范围．

解答：解：（I）函数y=f（x）的定义域为：（0，+∞）
因为f（x）=x²-（2a+1）x+alnx（a＞0）
所以f'（x）=2x-（2a+1）+

a

x

=

(2x-1)(x-a)

x

令f'（x）=0则x1=

1

2

，x₂=a
（i）当0＜a＜

1

2

时，由f'（x）＞0得x∈（0，a），（

1

2

，+∞）
由f'（x）＜0得，x∈（a，

1

2

）
所以函数f（x）的单调递减区间是（a，

1

2

）
（ii）a=

1

2

时，f'（x）≥0
所以函数f（x）的单调递增区间是（0，+∞）
（iii）当a＞

1

2

时由f'（x）＞0得x∈（0，

1

2

），（a，+∞）
所以函数f（x）的单调递增区间是（0，

1

2

），（a，+∞）
由f'（x）＜0得x∈（

1

2

，a）
所以函数f（x）的单调递减区间是（

1

2

，a）
（II）要使函数f（x）在[1，2]上总存在x₁，x₂，使得（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0成立，即
函数f（x）在[1，2]上不是单调递减函数．
由（I）可知，函数f（x）在[1，2]上单调递减时，a∈[2，+∞）
所以a∈（0，2）时，函数f（x）在[1，2]上不是单调递减函数．
所以函数f（x）在[1，2]上总存在x₁，x₂，使得（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0成立，
实数a的取值范围是（0，2）．

点评：本题主要考查了函数利用导数研究函数的单调性，以及函数恒成立问题，同时考查了分析问题，解决问题的能力，属于中档题．