Question

如图，某农场在M处有一堆肥料沿道路MA或MB送到大田ABCD中去，已知|MA|=6，|MB|=8，且|AD|≤|BC|，∠AMB=90°，能否在大田中确定一条界线，使位于界线一侧沿MB送肥料较近？若能，请建立适当坐标系求出这条界线方程．

Answer 1

设P为界线上的任意一点，则有PA+MA=PB+MB，即PA-PB=MB-MA=2（定值），
∴界线为以A，B为焦点的双曲线的右支
如图所示，以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，
设所求双曲线的标准方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1=1（a＞0，b＞0）
∵2a=2，2c=AB=

82+62

=10，可得a=1，c=5，b=

c2-a2

=2

6

∴双曲线方程为x²-

y2

24

=1，
∵P为以曲线右支上一点，且|AD|≤|BC|，可得x＞0
即所求界线的方程为x²-

y2

24

=1，（x＞0）．