Question

如图，在等腰三角形ABC中，∠ACB=120?，BC=AC=3，点D在线段AB上．
（1）若CD=

3

，求BD的长；
（2）若点E在线段DA上，且∠DCE=30?，问：当∠DCB取何值时，△CDE的面积最小？并求出面积的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用余弦定理，建立方程，即可求BD的长；
（2）由正弦定理，计算CD，CE，可得△CDE的面积，利用三角函数可求最值．

解答：解：（1）在△CDB中，∠CBD=30?，BC=3，CD=

3

，
由余弦定理，得CD²=BC²+BD²-2CB•BD•cos30°，…（2分）
即BD2-3

3

BD+6=0，解得，BD=

3

或2

3

．…（5分）
（2）设∠DCB=α，0°≤α≤90°，
在△CDB中，由正弦定理，得

CD

sin∠CBD

=

BC

sin∠CDB

，
即CD=

BC•sin30°

sin(150°-α)

，
同理CE=

BC•sin30°

sin(120°-α)

，…（8分）
所以，S△CDE=

1

2

CE•CD•sin30°=

9

16sin(150°-α)sin(120°-α)

=

9

8 3 sin2(120°-α)+8sin(120°-α)cos(120°-α)

=

9

4 3 +8sin[(240°-2α)-60°]

=

9

4 3 +8sin2α

…（12分）
∵0°≤α≤90°，∴0°≤2α≤180°．
∴当α=45°时，S_△CDE的最小值为

9

4( 3 +2)

=

9(2- 3 )

4

．…（14分）

点评：本题考查余弦定理、正弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．