Question

8．设S_n是等差数列{a_n}前n项和，若a₁=2，$\frac{{S}_{5}}{5}$-$\frac{{S}_{3}}{3}$=2，则数列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}的前10项和T₁₀=（　　）

• A． $\frac{8}{9}$
• B． $\frac{10}{11}$
• C． $\frac{11}{12}$
• D． $\frac{32}{33}$

Answer 1

分析 S_n是等差数列{a_n}前n项和，可得$\frac{{S}_{n}}{n}$=a₁+$\frac{n-1}{2}$d=$\frac{d}{2}$n+$（{a}_{1}-\frac{d}{2}）$，$\{\frac{{S}_{n}}{n}\}$为等差数列．利用等差数列的通项公式可得：S_n，再利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：∵S_n是等差数列{a_n}前n项和，
∴$\frac{{S}_{n}}{n}$=a₁+$\frac{n-1}{2}$d=$\frac{d}{2}$n+$（{a}_{1}-\frac{d}{2}）$，∴$\{\frac{{S}_{n}}{n}\}$为等差数列．
∵$\frac{{S}_{5}}{5}$-$\frac{{S}_{3}}{3}$=2，∴$\{\frac{{S}_{n}}{n}\}$的公差为$\frac{1}{2}×2$=1．
∴$\frac{{S}_{n}}{n}$=2+（n-1）=n+1．
∴S_n=n（n+1）．
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$．
则数列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}的前10项和T₁₀=$（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{10}-\frac{1}{11}）$=1-$\frac{1}{11}$=$\frac{10}{11}$．
故选：B．

点评 本题考查了等差数列的通项公式性质及其求和公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．