Question

17．已知函数f（x）满足f（x+1）=x²-$\frac{1}{3}$f（3）．
（1）设g（x）=f（x）+3^|x-1|，求g（x）在[0，3]上的值域；
（2）当x∈（-2，-$\frac{1}{2}$）时，不等式f（a）+4a＜（a+2）f（x²）恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）令x=2，可求得f（3）=3，再令x+1=t，可求得f（x）=x²-2x；利用二次函数与指数函数的单调性可求得g（x）=f（x）+3^|x-1|在[0，3]上的值域；
（2）由（1）知f（a）+4a＜（a+2）f（x²）即为a²+2a＜（a+2）f（x²），通过对a+2=0与a+2＞0、a+2＜0的分类讨论，分离出参数a，分别求得对应情况下a的取值范围，取并即可．

解答 解：（1）令x=2，得$f（3）=4-\frac{1}{3}f（3）$，∴f（3）=3，
令x+1=t，则x=t-1，∴f（t）=（t-1）²-1=t²-2t，
∴f（x）=x²-2x．…（3分）
∵y=3^|x-1|与y=f（x）都在[0，1）上递减，（1，3]上递增，
∴g（x）在[0，1）上递减，（1，3]上递增，
∴g（x）_min=g（1）=0，g（x）_max=g（3）=12，
∴g（x）在[0，3]上的值域为[0，12]．…（6分）
（2）由（1）知f（a）+4a＜（a+2）f（x²）即为a²+2a＜（a+2）f（x²）．
当a+2=0时，a²+2a＜（a+2）f（x²），即为a＜0，不合题意．…（7分）
当a+2＞0时，a²+2a＜（a+2）f（x²）可转化为a＜f（x²）=（x²-1）²-1．
∵$x∈（-2，-\frac{1}{2}）$，∴${x^2}∈（\frac{1}{4}，4）$，
∵f（x²）=（x²-1）²-1，∴当x²=1即x=-1时，f（x²）取得最小值-1．
∴a＜-1，∵a+2＞0，∴-2＜a＜-1．…（10分）
当a+2＜0时，a²+2a＜（a+2）f（x²）可转化为a＞f（x²）．
∵当$x∈（-2，-\frac{1}{2}）$时，f（x²）＜8，∴a≥8，又a＜-2，∴不合题意．…（11分）
综上，a的取值范围为（-2，-1）．…（12分）

点评 本题考查函数恒成立问题，着重考查函数单调性与最值问题的确定，突出分类讨论思想与等价转化思想的综合运用，分离参数是关键，属于难题．