Question

【题目】已知函数．

（1）若的最大值为，求的值；

（2）若存在实数且，使得，求证：．

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】

（1）对函数进行求导，然后根据的正负性进行分类讨论求出函数的单调性，最后根据题意求出的值；

（2）根据题意和（1）可以判断出函数的单调性，进而可以确定介于之间，不妨设，这样根据函数的单调性和绝对值的性质进行求解即可.

（1），若，则，所以在上单调递增，无最值，不合题意；若，当时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，故的最大值，解得，符合题意．

综上，．

（2）若，则由（1）知，所以函数在上单调递增，在上单调递减．若存在实数，使得，则介于之间，不妨设，因为在上单调递增，在上单调递减，且，所以当时，，由，可得，故，又在上递增，且，

所以，所以，

同理．所以，解得，不等式得证．