【题目】若无穷数列满足:只要
,必有
,则称
具有性质
.
(1)若具有性质
,且
,求
;
(2)若无穷数列是等差数列,无穷数列
是等比数列,
,
,
.判断
是否具有性质
,并说明理由;
(3)设是无穷数列,已知
.求证:“对任意
都具有性质
”的充要条件为“
是常数列”.
【答案】(1)(2)
不具有性质
,详见解析(3)证明见解析
【解析】
(1)根据具有性质
,且
,可得
,又因为
,
,
,则
,代入数据即可得结果.
(2),
得出
的公差和
的公比,即可设
和
的通项公式,得出
.因为
,则
,
,得出
,所以
不具有性质
.
(3)先证充分性:当为常数列时,
.对任意给定的
,只要
,则由
,必有
.充分性得证.
再证必要性:用反证法证明.假设不是常数列,则存在
,使得
,而
.证明存在满足
的
,使得
,但
.设
,取
,使得
,再根据条件类推,得出
不具有性质
,矛盾.必要性得证即可得出结论.
解:(1)因为,所以
,
,
,
.
所以,又因为
,解得
(2)的公差为
,所以
,
的公比为
,所以
所以.
所以,
,
,因为
,
所以不具有性质
.
(3)证明充分性:
当为常数列时,
.
对任意给定的,只要
,则由
,必有
.
充分性得证.
证明必要性:用反证法证明.假设不是常数列,则存在
,
使得,而
.
下面证明存在满足的
,使得
,但
.
设,取
,使得
,则
,
,故存在
使得
.
取,因为
(
),所以
,
依此类推,得.
但,即
.
所以不具有性质
,矛盾.必要性得证.
综上,“对任意,
都具有性质
”的充要条件为“
是常数列”
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【题目】已知椭圆过点
,且离心率为
.设
为椭圆
的左、右顶点,P为椭圆上异于
的一点,直线
分别与直线
相交于
两点,且直线
与椭圆
交于另一点
.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)求证:直线与
的斜率之积为定值;
(Ⅲ)判断三点是否共线,并证明你的结论.
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【题目】已知函数f(x)=2cosxsin(x+2φ)为偶函数,其中φ∈(0,),则下列关于函数g(x)=sin(2x+φ)的描述正确的是( )
A.g(x)在区间[]上的最小值为﹣1
B.g(x)的图象可由函数f(x)的图象向上平移一个单位,再向右平移个单位长度得到
C.g(x)的图象的一个对称中心为(,0)
D.g(x)的一个单调递增区间为[0,]
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【题目】某部影片的盈利额(即影片的票房收入与固定成本之差)记为,观影人数记为
,其函数图象如图(1)所示.由于目前该片盈利未达到预期,相关人员提出了两种调整方案,图(2)、图(3)中的实线分别为调整后
与
的函数图象.
给出下列四种说法:
①图(2)对应的方案是:提高票价,并提高成本;
②图(2)对应的方案是:保持票价不变,并降低成本;
③图(3)对应的方案是:提高票价,并保持成本不变;
④图(3)对应的方案是:提高票价,并降低成本.
其中,正确的说法是____________.(填写所有正确说法的编号)
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【题目】在四棱锥中,底面
是正方形,
底面
,
,
、
、
分别是棱
、
、
的中点,对于平面
截四棱锥
所得的截面多边形,有以下三个结论:
①截面的面积等于;
②截面是一个五边形;
③截面只与四棱锥四条侧棱中的三条相交.
其中,所有正确结论的序号是______.
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【题目】为调查某校学生每周体育锻炼落实的情况,采用分层抽样的方法,收集100位学生每周平均锻炼时间的样本数据(单位:).根据这100个样本数据,制作出学生每周平均锻炼时间的频率分布直方图(如图所示).
(Ⅰ)估计这100名学生每周平均锻炼时间的平均数和样本方差
(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(Ⅱ)由频率分布直方图知,该校学生每周平均锻炼时间近似服从正态分布
,其中
近似为样本平均数
,
近似为样本方差
.
(i)求;
(ii)若该校共有5000名学生,记每周平均锻炼时间在区间的人数为
,试求
.
附:,若
~
,
,
.
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【题目】已知曲线C的参数方程为(
为参数),以直角坐标系的原点o为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,直线l的极坐标方程是:
(Ⅰ)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程:
(Ⅱ)点P是曲线C上的动点,求点P到直线l距离的最大值与最小值.
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