Question

已知集合M是同时满足下列两个性质的函数f（x）组成的集合：
①f（x）在其定义域上是单调增函数或单调减函数；
②在f（x）的定义域存在区间[a，b]，使得f（x）在[a，b]上的值域是[

a

2

，

b

2

]．
试判断下列函数：f（x）=2^x，g（x）=log₂x，h（x）=x

1

2

是否属于集合M？并说明理由，若是，则请说出区间[a，b]．

Answer 1

考点：函数单调性的性质,函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：分别根据函数单调性和值域之间的关系建立条件关系，即可得到结论．

解答： 解：（1）当f（x）=2^x，函数f（x）为增函数，
若在f（x）的定义域存在区间[a，b]，使得f（x）在[a，b]上的值域是[

a

2

，

b

2

]．
则

f(a)=2a= a 2 f(b)=2b= b 2

，
即a，b是方程2^x=

x

2

的两个根，
由数形结合可知方程2^x=

x

2

无解，故不存在满足条件的区间[a，b]．
（2）当g（x）=log₂x，函数g（x）为增函数，
若在g（x）的定义域存在区间[a，b]，使得g（x）在[a，b]上的值域是[

a

2

，

b

2

]．
则

g(a)=log2a= a 2 g(b)=log2b= b 2

，
即a，b是方程log₂x=

x

2

的两个根，
∵x=2和x=4是方程log₂x=

x

2

的根，
故a=2，b=4时满足条件，即存在满足条件的区间[2，4]．
（3）当h（x）=x

1

2

，则h（x）为增函数，
∴满足条件①；
假设存在区间[a，b]，使得h（x）在[a，b]上的值域是[

a

2

，

b

2

]，
则

f(a)= a = a 2 f(b)= b = b 2

，
∴当a=0，b=4，满足条件②；

点评：本题主要考查了函数的单调性的判定和值域的求解，利用函数的单调性是解决本题的关键．同时考查了运算求解的能力和转化的思想，属于中档题．