Question

已知是椭圆和双曲线的公共顶
点。是双曲线上的动点,是椭圆上的动点（、都异于、），且满足，其中，设直线、、、的斜率 分别记为, ,则        

Answer 1

-5

试题分析：∵A，B是椭圆和双曲线的公共顶点，
∴（不妨设）A（-a，0），B（a，0）．
设P（x₁，y₁），M（x₂，y₂），∵，其中λ∈R，
∴（x₁+a，y₁）+（x₁-a，y₁）=λ[（x₂+a，y₂）+（x₂-a，y₂）]，化为x₁y₂=x₂y₁．
∵P、M都异于A、B，∴y₁≠0，y₂≠0．∴．
由k₁+k₂==5，化为（*）
又∵=1，∴，代入（*）化为．
k₃+k₄=，又=1，
∴，
∴k₃+k₄=-=-5．
故答案为-5．
点评：难题，熟练掌握点在曲线上的意义、双曲线和椭圆的方程、向量的坐标运算、斜率的计算公式是解题的关键，同时本题计算能力要求较高。