Question

在平面直角坐标系中，已知定点A（－2，0）、B（2，0），异于A、B两点的动点P满足，其中k₁、k₂分别表示直线AP、BP的斜率．

（Ⅰ）求动点P的轨迹E的方程；
（Ⅱ）若N是直线x=2上异于点B的任意一点，直线AN与（I）中轨迹E交予点Q，设直线QB与以NB为直径的圆的一个交点为M（异于点B），点C（1，0），求证：|CM|·|CN| 为定值.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.

试题分析：（Ⅰ）根据斜率公式，有斜率乘积等于整理即得，注意；（Ⅱ）设直线的方程，与椭圆方程组成方程组，消去，由韦达定理求点的坐标，根据直线与以为直径的圆的另一个交点为，得，从而得到直线的方程，确定恒过的定点.证明三点共线,又是以为直径的圆的切线,由切割线定理可知,,即为定值.
试题解析：(Ⅰ)设,由得  ,其中,
整理得点的轨迹方程为.       (4分)
（Ⅱ）设点，则直线的方程为，
解方程组，消去得，
设，则，，
从而，又，

直线与以为直径的圆的另一个交点为，，
方程为,即,过定点,        (9分)
定值证法一:即三点共线,又是以为直径的圆的切线,由切割线定理可知,,为定值.                                  (12分)
定值证法二:直线:,直线:,  
联立得,, 
,为定值.       (12分)