Question

若椭圆C：的离心率e为, 且椭圆C的一个焦点与抛物线y²＝－12x的焦点重合．
(1) 求椭圆C的方程；
(2) 设点M(2,0), 点Q是椭圆上一点, 当|MQ|最小时, 试求点Q的坐标；
(3) 设P(m,0)为椭圆C长轴（含端点）上的一个动点, 过P点斜率为k的直线l交椭圆与
A,B两点, 若|PA|²＋|PB|²的值仅依赖于k而与m无关, 求k的值．

Answer 1

（1）
（2）(5,0)
（3）k＝±．

试题分析：解：（1）∵依题意a=5,c=3∴椭圆C的方程为：      2¢
（2）设Q(x,y), －5≤x≤5
∴
∵对称轴
∴当x＝5时, |MQ|²达到最小值,
∴当|MQ|最小时, Q的坐标为(5,0)                     ·6¢
（3）设A(x₁,y₁), B(x₂,y₂), P(m,0)(－5≤m≤5), 直线l：y＝k(x－m)
由
得,  8¢
∴y₁＋y₂＝k(x₁－m)＋k(x₂－m)＝k(x₁＋x₂)－2km＝
y₁y₂＝k²(x₁－m)(x₂－m)＝k²x₁x₂－k²m(x₁＋x₂)＋k²m²＝·   10¢
∴
＝(x₁＋x₂)²－2x₁x₂－2a(x₁＋x₂)＋(y₁＋y₂)²－2y₁y₂－2y₁y₂＋2a²
＝    -12分
∵|PA|²＋|PB|²的值仅依赖于k而与m无关
∴512－800k²＝0∴k＝±．     13¢
点评：主要是考查了直线与椭圆的运用，属于中档题。