Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且 S_n=n²-4n+4．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设bn=

an

2n

，数列{b_n}的前n项和为T_n，求证：

1

4

≤Tn＜1．

Answer 1

分析：（1）根据a_n=S_n-S_n-1求通项公式，然后验证a₁=S₁=1，不符合上式，因此数列{a_n}是分段数列；
（2）先写出数列{b_n}的通项公式，应用错位相减法，求出T_n．

解答：解：（1）当n=1时，a₁=S₁=1．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²-4n+4-[（n-1）²-4（n-1）+4]=2n-5
∵a₁=1不适合上式，
∴an=

1 n=1 2n-5 n≥2

（2）证明：∵bn=

an

2n

=

1 2  &，n=1 2n-5 2n ，n≥2

．
当n=1时，T1=

1

2

，
当n≥2时，Tn=

1

2

+

-1

22

+

1

23

+…+

2n-5

2n

，①

1

2

Tn=

1

22

+

-1

23

+

1

24

+…+

2n-7

2n

+

2n-5

2n+1

．②
①-②得：

1

2

Tn=

1

2

-

2

22

+2(

1

23

+…+

1

2n

)-

2n-5

2n+1

=

1

2

(1-

1

2n-2

)-

2n-5

2n+1

得Tn=1-

2n-1

2n

(n≥2)，
此式当n=1时也适合．
∴Tn=1-

2n-1

2n

(n∈N^*）．
∵

2n-1

2n

＞0(n∈N*)，
∴T_n＜1．
当n≥2时，Tn+1-Tn=(1-

2n+1

2n+1

)-(1-

2n-1

2n

)=

2n-3

2n+1

＞0，
∴T_n＜T_n+1（n≥2）．
∵T1=

1

2

，T2=1-

3

4

=

1

4

，
∴T₂＜T₁．
故T_n≥T₂，即Tn≥

1

4

(n∈N*)．
综上，

1

4

≤Tn＜1(n∈N*)．

点评：本题主要考查了数列通项公式以及数列的前n项和的求法，对于等差数列与等比数列乘积形式的数列，一般采取错位相减的方法求数列的前n项和，这种方法要熟练掌握．体现了分类讨论的数学思想方法，考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力和运算能力，属中档题．