Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量

m

=（cosA，sinA），向量

n

=（

2

-sinA，cosA），若|

m

+

n

|=2
（Ⅰ）求角A的大小
（Ⅱ）若△ABC外接圆的半径为2，b=2，求边c的长．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,正弦定理

专题：平面向量及应用

分析：（1）根据题意，得到

m

+

n

=（cosA-sinA+

2

，cosA+sinA），然后，结合|

m

+

n

|=2，化简，得到sinA=cosA，
求解出A的值即可；
（2）结合正弦定理和余弦定理，直接构造含有c的等式进行求解即可．

解答： 解：（Ⅰ）依题意：

m

+

n

=（cosA-sinA+

2

，cosA+sinA），
∵|

m

+

n

|=2
∴（cosA-sinA+

2

）²+（cosA+sinA）²=4，
化简得：
sinA=cosA，
∴tanA=1，
∵0＜A＜π，
故有A=

π

4

．…（6分）
（Ⅱ）依题意，在△ABC中，由正弦定理

a

sinA

=2R=4，
∴a=2

2

，
由余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccosA，
化简得：c2-2

2

c-4=0，解得：
c=

2

+

6

（负值舍去）．…（12分）

点评：本题重点考查了正弦定理和余弦定理、三角恒等变换公式等知识，属于中档题．