Question

设向量

a

、

b

满足：|

a

|=3，|

b

|=4，

a

•

b

=0．若以

a

、

b

、

a

-

b

的模为边长构成三角形，则该三角形的三边与半径为1的圆的公共点个数最多为（　　）

• A、2个
• B、3个
• C、4个
• D、6个

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,向量的模

专题：计算题,平面向量及应用,直线与圆

分析：先根据题设条件判断三角形为直角三角形，根据三边长求得内切圆的半径，进而看半径为1的圆内切于三角形时有三个公共点，对于圆的位置稍一右移或其他的变化，能实现4个交点的情况，进而可得出答案．

解答： 解：由于|

a

|=3，|

b

|=4，

a

•

b

=0，
则以

a

、

b

、

a

-

b

的模为3，4，5的三角形构成直角三角形．
设内切圆的半径为r，则运用面积相等，可得，

1

2

×3×4=

1

2

r（3+4+5），解得，r=1．
进而可知其内切圆半径为1，
∵对于半径为1的圆有一个位置是正好是三角形的内切圆，此时只有三个交点，
对于圆的位置稍一右移或其他的变化，能实现4个交点的情况，
但5个以上的交点不能实现．
故选C．

点评：本题考查平面向量的性质，考查直线和圆的位置关系，考查判断能力，属于中档题和易错题．