设各项均为正数的数列的前n项和为Sn,已知
,且
对一切
都成立.
(1)若λ=1,求数列的通项公式;
(2)求λ的值,使数列是等差数列.
(1);(2)
.
解析试题分析:(1)本题已知条件是,我们要从这个式子想办法得出
与
的简单关系式,变形为
,这时我们联想到累乘法求数列通项公式的题型,因此首先由
得
,又
,这个式子可化简为
,这样就变成我们熟悉的已知条件,已知解法了;(2)这种类型问题,一种方法是从特殊到一般的方法,可由
成等差数列,求出
,然后把
代入已知等式,得
,
,这个等式比第(1)题难度大点,把
化为
,有当n≥2时,
,整理,得
,特别是可变形为
,这样与第(1)处理方法相同,可得
,即
,从而说不得
是等差数列.
试题解析:(1)若λ=1,则
,
.
又∵,∴
, 2分
∴,
化简,得.① 4分
∴当时,
.②
②-①,得,∴
(
). 6分
∵当n=1时,,∴n=1时上式也成立,
∴数列{an}是首项为1,公比为2的等比数列,an=2n-1(). 8分
(2)令n=1,得.令n=2,得
. 10分
要使数列是等差数列,必须有
,解得λ=0. 11分
当λ=0时,,且
.
当n≥2时,,
整理,得,
, 13分
从而,
化简,得,所以
. 15分
综上所述,(
),
所以λ=0时,数列是等差数列. 16分
考点:递推公式,累乘法,与
的关系,等差数列.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知数列和
的通项公式分别为
,
.将
与
中的公共项按照从小到大的顺序排列构成一个新数列记为
.
(1)试写出,
,
,
的值,并由此归纳数列
的通项公式;
(2)证明你在(1)所猜想的结论.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
在数列中,若
(
,
,
为常数),则称
为
数列.
(1)若数列是
数列,
,
,写出所有满足条件的数列
的前
项;
(2)证明:一个等比数列为数列的充要条件是公比为
或
;
(3)若数列
满足
,
,
,设数列
的前
项和为
.是否存在
正整数,使不等式
对一切
都成立?若存在,求出
的值;
若不存在,说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
若数列{an}满足an+1=an+an+2(n∈N*),则称数列{an}为“凸数列”.
(1)设数列{an}为“凸数列”,若a1=1,a2=-2,试写出该数列的前6项,并求出前6项之和;
(2)在“凸数列”{an}中,求证:an+3=-an,n∈N*;
(3)设a1=a,a2=b,若数列{an}为“凸数列”,求数列前2011项和S2011.
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