设各项均为正数的数列的前n项和为Sn,已知,且对一切都成立.
(1)若λ=1,求数列的通项公式;
(2)求λ的值,使数列是等差数列.
(1);(2).
解析试题分析:(1)本题已知条件是,我们要从这个式子想办法得出与的简单关系式,变形为,这时我们联想到累乘法求数列通项公式的题型,因此首先由得
,又,这个式子可化简为,这样就变成我们熟悉的已知条件,已知解法了;(2)这种类型问题,一种方法是从特殊到一般的方法,可由成等差数列,求出,然后把代入已知等式,得,,这个等式比第(1)题难度大点,把化为,有当n≥2时,,整理,得,特别是可变形为,这样与第(1)处理方法相同,可得,即,从而说不得是等差数列.
试题解析:(1)若λ=1,则,.
又∵,∴, 2分
∴,
化简,得.① 4分
∴当时,.②
②-①,得,∴(). 6分
∵当n=1时,,∴n=1时上式也成立,
∴数列{an}是首项为1,公比为2的等比数列,an=2n-1(). 8分
(2)令n=1,得.令n=2,得. 10分
要使数列是等差数列,必须有,解得λ=0. 11分
当λ=0时,,且.
当n≥2时,,
整理,得,, 13分
从而,
化简,得,所以. 15分
综上所述,(),
所以λ=0时,数列是等差数列. 16分
考点:递推公式,累乘法,与的关系,等差数列.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知数列和的通项公式分别为,.将与中的公共项按照从小到大的顺序排列构成一个新数列记为.
(1)试写出,,,的值,并由此归纳数列的通项公式;
(2)证明你在(1)所猜想的结论.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
在数列中,若(,,为常数),则称为数列.
(1)若数列是数列,,,写出所有满足条件的数列的前项;
(2)证明:一个等比数列为数列的充要条件是公比为或;
(3)若数列满足,,,设数列的前项和为.是否存在
正整数,使不等式对一切都成立?若存在,求出的值;
若不存在,说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
若数列{an}满足an+1=an+an+2(n∈N*),则称数列{an}为“凸数列”.
(1)设数列{an}为“凸数列”,若a1=1,a2=-2,试写出该数列的前6项,并求出前6项之和;
(2)在“凸数列”{an}中,求证:an+3=-an,n∈N*;
(3)设a1=a,a2=b,若数列{an}为“凸数列”,求数列前2011项和S2011.
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