Question

已知函数f(x)=sinx(cosx-

3

sinx)．
（I）求函数f（x）的最小正周期；
（II）将函数y=sin2x的图象向左平移a(0＜a＜

π

2

)个单位，向下平移b个单位，得到函数y=f（x）的图象，求ab的值；
（Ⅲ）求函数f（x）在[0，

π

2

]上的值域．

Answer 1

分析：（1）先根据三角函数的二倍角公式和两角和与差的正弦公式将函数化简为y=Asin（wx+φ）的形式，根据T=

2π

w

可得答案．
（2）将y=sin2x进行平移可得sin2（x+a）-b，然后令sin2(x+a)-b=sin(2x+

π

3

)-

3

2

可解出a，b的值．
（3）先根据x的范围求出2x+

π

3

的范围，再由三角函数的性质可得到答案．

解答：解：（I）f(x)=-

3

sin2x+sinxcosx
=-

3

×

1-cos2x

2

+

1

2

sin2x
=

1

2

sin2x+

3

2

cos2x-

3

2

=sin(2x+

π

3

)-

3

2

．
函数f（x）的最小正周期是T=

2π

2

=π；
（II）由（I）得，sin2(x+a)-b=sin(2x+

π

3

)-

3

2

，
可知a=

π

6

，b=

3

2

．则ab=

3

12

π．
（Ⅲ）∵0≤x≤

π

2

，∴

π

3

≤2x+

π

3

≤

4π

3

，
∴-

3

2

≤sin(2x+

π

3

)≤1，
∴f（x）的值域为[-

3

，1-

3

2

]．

点评：本题主要考查三角函数的最小正周期、值域的求法和平移变换的问题．一般先将函数化简为y=Asin（wx+φ）的形式再解题．