Question

设f(x)=(a＞0,a≠1).

(1)求f(x)的反函数f^-1(x);

(2)讨论f^-1(x)在(1,+∞)上的单调性，并加以证明;

(3)令g(x)=1+log_ax,当［m,n］?（1,?+∞）(m＜n)时，f^-1(x)在［m,n］上的值域是?［g(n),g(m)］,求a的取值范围.

Answer 1

解析：(1)f^-1(x)=log_a(x＞1或x＜-1)

(2)设1＜x₁＜x₂,

∵＜0

当0＜a＜1时，f^-1(x₁)＞f^-1(x₂),

∴f^-1(x)在(1，+∞)上是减函数，

当a＞1时，f^-1(x₁)＜f^-1(x₂),

∴f^-1(x)在(1，+∞)上是增函数.

(3)当0＜a＜1时，

∵f^-1(x)在(1,+∞)上是减函数，

∴

由log_a=1+log_ax

得=ax,即ax²+(a-1)x+1=0可知方程的两个根均大于1，即

∵f^-1(x)在（1，+∞）上是增函数，

∴a=-1(舍去).

综上，得0＜a＜3-2.