Question

已知函数f（x）=sin（ωx+φ），（ω＞0，，0＜φ＜π）的一系列对应值如表：

x
y	0	1	0	-1	0

（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）在△ABC中，a、b、c分别是△ABC的对边，若，求△ABC的面积．

Answer 1

解：（Ⅰ）由题中表格给出的信息可知，函数f（x）的周期为T=-（-）=π，
所以ω==2，
又sin（2×+φ）=1，且φ=2kπ+-=2kπ+（k∈Z），
由0＜φ＜π，所以φ=，
所以函数的解析式为f（x）=sin（2x+）；
（Ⅱ）∵f（A）=，∴sin（2A+）=，
又∵A为△ABC的内角，
∴＜2A+＜，
∴2A+=，
∴A=，
由a²=b²+c²-2bccosA，得（b）²=b²+2²-2×2×b×，
即b²+b-2=0，解得b=1或b=-2（舍去），
则S=bcsinA=×1×2×=．
分析：（Ⅰ）由表格中的数据可求出f（x）的周期T，然后利用周期公式求出ω的值，把求出的ω的值代入f（x）中，利用表格中的第二列的一对x与y的值，由0＜φ＜π，利用特殊角的三角函数值即可求出φ的值，从而确定出f（x）的解析式；
（Ⅱ）由f（A）=，由第一问求出的f（x）的解析式和A的范围，利用特殊角的三角函数值求出A的度数，进而求出cosA的值，然后利用余弦定理得到一个关系式，把a=b，c=2及cosA的值代入得到关于b的一元二次方程，求出方程的解得到b的值，然后利用三角形的面积公式，由b，c及sinA的值，即可求出△ABC的面积．
点评：此题考查了由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，余弦定理及三角形的面积公式．熟练掌握公式及法则是解本题的关键，同时在求角度时注意角度的范围，牢记特殊角的三角函数值．