Question

（本小题满分14分） 函数．

（1）要使在（0，1）上单调递增，求的取值范围；

（2）当＞0时，若函数满足=1，=，求函数的解析式；

（3）若x∈[0，1]时，图象上任意一点处的切线倾斜角为θ，求当0≤θ≤时的取值范围．

 

Answer 1

（1）≥;（2）≤≤．

【解析】

试题分析：（1）若可导函数在指定的区间上单调递增（减），求参数问题，可转化为恒成立，从而构建不等式，要注意“=”是否可以取到．（2）已知可导函数的极值求函数解析式的步骤一、求导数；二、求方程的根；三、检查与方程的根左右值的符号，如果左正右负，那么在这个根处取得极大值，如果左负右正，那么在这个根处取得极小值，四、再根据所给的极值，列出方程（或方程组）求出参数即可；（3）导数的几何意义的应用．

试题解析：（1），要使在（0，1）上单调递增，

则∈（0，1）时，≥0恒成立．∴≥0，即当∈（0，1）时，≥恒成立．

∴≥，即的取值范围是[∞． 4分

（2）由，令 =0，得=0，或=．∵＞0，∴当变化时，

、 的变化情况如下表：

	（-∞，0）	0	（0，）		（，+∞）
	-	0	+	0	-
		极小值		极大值

 

∴y极小值==b=1，y极大值== - + · +1=．

∴b=1，=1．故=． 9分

（3）当∈[0，1]时，tanθ=．由θ∈[0，]，得0≤≤1，

即∈[0，1]时，0≤≤1恒成立．当=0时，∈R．

当∈（0，1]时，由≥0恒成立，由（2）知≥．

由≤1恒成立，≤（3+），∴≤（等号在=时取得）．

综上，≤≤． 14分

考点：函数的极值，单调性与导数，函数导数的几何意义．