Question

已知函数f（x）=aln（x+1）-x²，在区间（0，2）内任取两个实数p，q，且p≠q，若不等式

f(p+1)-f(q+1)

p-q

＞1恒成立，则实数a的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：转化为在区间（1，3）内，恒有f′（x）=

a

x+1

-2x＞1，即a＞2x²+3x+1，x∈（1，3），根据二次函数的性质可得．

解答： 解：∵函数f（x）=aln（x+1）-x²，
∴f′（x）=

a

x+1

-2x，
∵在区间（0，2）内任取两个实数p，q，且p≠q，若不等式

f(p+1)-f(q+1)

p-q

＞1恒成立
∴在区间（1，3）内，恒有f′（x）=

a

x+1

-2x＞1，
即令g（x）=2x²+3x+1，x∈（1，3），
根据二次函数的性质可得g（x）_max=g（3）=28，
∴a≥28，
故答案为：a≥28

点评：本题考查了函数的性质，导数的运用，结合不等式恒成立问题求解．