Question

3．已知函数f（x）=xlnx+（2a-1）x-ax²-a+1，
（1）若$a=\frac{1}{2}$，求f（x）的单调区间；
（2）若x∈[1，+∞）时恒有f（x）≤0，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，令g（x）=lnx-（x-1），求出g（x）的导数，可得单调区间和最值，进而得到f（x）的单调区间；
（2）求出导数，对a讨论，当$a=\frac{1}{2}$时，当a＞$\frac{1}{2}$时，当0＜a＜$\frac{1}{2}$时，结合函数的单调性，即可得到所求a的范围．

解答 解：（1）函数f（x）=xlnx+（2a-1）x-ax²-a+1的导数为
f′（x）=lnx-2a（x-1），
当$a=\frac{1}{2}$时，f′（x）=lnx-（x-1），
令g（x）=lnx-（x-1），则${g^'}（x）=\frac{1}{x}-1=\frac{1-x}{x}$．
x∈（0，1）时g′（x）＞0；x∈（1，+∞）时g′（x）＜0．
∴g（x）≤g（1）=0，即f′（x）≤0（只在x=1处取等号）
∴f（x）的单减区间是（0，+∞）；
（2）f′（x）=lnx-2a（x-1），
令f′（x）=0，则lnx=2a（x-1）且函数lnx在x=1处的切线为y=x-1，
由（1）知，$a=\frac{1}{2}$时，f（x）在[1，+∞）上单减且f（1）=0，∴f（x）≤0，合题意；
当a＞$\frac{1}{2}$时，数形结合知，f（x）在[1，+∞）上仍单减且f（1）=0，∴f（x）≤0，合题意；
当0＜a＜$\frac{1}{2}$时，数形结合知，?x₀＞1，使得f′（x₀）=0．
即x∈（1，x₀）时f′（x）＞0，f（x）在（1，x₀）上单增，f（x）＞f（1）=0，不合题意；
当a≤0时，数形结合知，x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（1，+∞）上单增，
f（x）＞f（1）=0，不合题意．
综上，若x∈[1，+∞）时恒有f（x）≤0，
则a的取值范围是$a≥\frac{1}{2}$．

点评 本题考查导数的运用：求切线方程和单调性，同时考查不等式恒成立问题的解法，注意运用分类讨论的思想方法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．