Question

8．曲线$y=-\frac{{{{（x-4）}^2}}}{4}$上任意一点为A，点B（2，0）为线段AC的中点．
（Ⅰ）求动点C的轨迹f（x）的方程；
（Ⅱ）过轨迹E的焦点F作直线交轨迹E于M、N两点，在圆x²+y²=1上是否存在一点P，使得PM、PN分别为轨迹E的切线？若存在，求出轨迹E与直线PM、PN所围成的图形的面积；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设出C，A的坐标，利用中点坐标公式把A的坐标用C的坐标表示，然后代入曲线方程求得动点C的轨迹方程；
（Ⅱ）假设存在点P（x₀，y₀），使得PM、PN分别为轨迹E的切线，设出M，N的坐标及直线MN的方程，联立直线方程与抛物线方程，得到M，N的横坐标的和与积，然后分别写出过M，N的切线方程，知x₁，x₂是方程${x_{\;}}^2-2{x_0}x+4{y_0}=0$的两根，进一步求得P的坐标，则可求得轨迹E与直线PM、PN所围成的图形的面积．

解答 解：（Ⅰ）设C（x，y），A（m，n），则$\left\{\begin{array}{l}2=\frac{x+m}{2}\\ 0=\frac{y+n}{2}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}m=4-x\\ n=-y\end{array}\right.$，
又$n=-\frac{{{{（m-4）}^2}}}{4}$，
∴所求方程为x²=4y；
（Ⅱ）假设存在点P（x₀，y₀），使得PM、PN分别为轨迹E的切线，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），直线MN的方程为y=kx+1，
联立$\left\{\begin{array}{l}y=kx+1\\{x^2}=4y\end{array}\right.$，
得x²-4kx-4=0，
则$\left\{\begin{array}{l}{x_1}+{x_2}=4k\\{x_1}{x_2}=-4\end{array}\right.$，
切线PM的方程为$y-\frac{x_1^2}{4}=\frac{x_1}{2}（x-{x_1}）$，
点P（x₀，y₀）代入化简得${x_1}^2-2{x_1}{x_0}+4{y_0}=0$．
同理得${x_2}^2-2{x_2}{x_0}+4{y_0}=0$，
知x₁，x₂是方程${x_{\;}}^2-2{x_0}x+4{y_0}=0$的两根，
则x₁x₂=4y₀=-4．
∴y₀=-1，代入圆方程得x₀=0，
∴存在点P（0，-1）．
此时轨迹E与直线PM、PN所围成的图形的面积：
S=$\frac{1}{2}×2×1+{2∫}_{0}^{2}\frac{1}{4}{x}^{2}dx$=1$+2×\frac{1}{12}{x}^{3}{|}_{0}^{2}=1+\frac{4}{3}=\frac{7}{3}$．

点评 本题考查曲线方程的求法，训练了交轨法求曲线方程，考查直线与圆锥曲线位置关系的应用，是中档题．