Question

13．已知函数f（x）=|x²-1|
（1）解不等式f（x）≤2+2x；
（2）设a＞0，若关于x的不等式f（x）+5≤ax解集非空，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）通过讨论x的范围，解不等式即可；（2）通过讨论x的范围，去掉绝对值号，结合二次函数的性质求出a的范围即可．

解答 解：（1）∵f（x）≤2+2x，
∴|x²-1|≤2+2x，
x≥1或x≤-1时，x²-1≤2+2x，解得：1≤x≤3，x=-1，
-1＜x＜1时，1-x²≤2+2x，成立，
综上，-1≤x≤3；
（2）①x≥1或x≤-1时，
f（x）+5≤ax，
即x²-1+5≤ax，
即x²-ax+4≤0，
令h（x）=x²-ax+4，
若不等式f（x）+5≤ax解集非空，
则△=a²-16≥0，
解得：a≥4或a≤-4，
②-1≤x≤1时，
f（x）+5≤ax，
即1-x²+5≤ax，
即x²+ax-6≥0在[-1，1]有解，
令g（x）=x²+ax-6，
若不等式f（x）+5≤ax解集非空，
则f（1）≥0即可，解得：a≥5，
综上，a≥4或a≤-4．

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想以及二次函数的性质，是一道中档题．