Question

5．已知曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，已知直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）．
（1）判断直线l与曲线C的位置关系并说明理由；
（2）若直线l与抛物线x²=4y相交于A，B两点，求线段AB的长．

Answer 1

分析 （1）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x²+y²=ρ²，代入可得曲线C的直角坐标方程；由代入消元可得直线l的普通方程，求得圆的圆心和半径，及圆心到直线的距离，与半径比较，即可得到所求直线和圆的位置关系；
（2）方法一、将直线的参数方程代入抛物线的方程，求得参数的值，由参数的几何意义，可得弦长；
方法二、运用直线的普通方程代入抛物线的方程，求得交点坐标，运用两点的距离公式，可得弦长．

解答 解：（1）曲线C：ρ=2cosθ，即为ρ²=2ρcosθ，
由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x²+y²=ρ²，可得x²+y²=2x，
则曲线C的直角坐标方程为（x-1）²+y²=1，圆心（1，0），半径为1，
直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），由代入法，消去t，可得
直线l的普通方程为x+y-3=0，
圆心到直线l的距离为$\frac{|1-3|}{{\sqrt{{1^2}+{1^2}}}}=\sqrt{2}＞1$，
所以直线l与曲线C相离．        
（2）解法一、将直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=1-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$代入抛物线x²=4y，得
${（1-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t）^2}=4（2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t）$，
即${t^2}-6\sqrt{2}t-14=0$，解得${t_1}=-\sqrt{2}$，${t_2}=7\sqrt{2}$，
所以|AB|=|t₁-t₂|=8$\sqrt{2}$．
解法二、直线l的普通方程为x+y-3=0，联立x²=4y，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x_1}=2\\{y_1}=1\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x_2}=-6\\{y_2}=9\end{array}\right.$，
即A（2，1），B（-6，9），
所以|AB|=$\sqrt{（2+6）^{2}+（1-9）^{2}}$=8$\sqrt{2}$．

点评 本题考查极坐标方程和直角坐标方程的互化，参数方程和普通方程的互化，以及直线和圆的位置关系的判断，注意运用圆心到直线的距离和半径的关系，考查直线和抛物线相交的弦长的求法，注意联立方程求交点，运用两点的距离公式，考查运算能力，属于基础题．