Question

17．在斜三角形△ABC中，A=45°，H是△ABC的垂心，λ$\overrightarrow{AH}$=$\frac{\overrightarrow{AB}}{tanC}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{tanB}$，则λ=1．

Answer 1

分析 H是△ABC的垂心，可得$\overrightarrow{HA}$tanA+$\overrightarrow{HB}$tanB+$\overrightarrow{HC}$tanC=$\overrightarrow{0}$．再利用向量的三角形法则、正切和差公式即可得出．

解答 解：∵H是△ABC的垂心，则$\overrightarrow{HA}$tanA+$\overrightarrow{HB}$tanB+$\overrightarrow{HC}$tanC=$\overrightarrow{0}$．
∴$\overrightarrow{AH}$=$\frac{tanB}{tanA+tanB+tanC}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{tanC}{tanA+tanB+tanC}$$\overrightarrow{AC}$，
∴$\frac{（tanA+tanB+tanC）}{tanBtanC}$$\overrightarrow{AH}$=$\frac{\overrightarrow{AB}}{tanC}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{tanB}$=λ$\overrightarrow{AH}$，
则λ=$\frac{（tanA+tanB+tanC）}{tanBtanC}$=$\frac{tanA+tan（B+C）（1-tanBtanC）}{tanBtanC}$=$\frac{tanAtanBtanC}{tanBtanC}$=tanA=1，
故答案为：1．

点评 本题考查了三角形垂心的性质、向量的三角形法则、正切和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．