Question

2．已知：f（x）=$\sqrt{{x}^{2}+2}$，正项数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=f（a_n），数列{b_n}的前n项和为S_n，且满足a_n²=2ⁿ⁺¹b_n
（1）求{b_n}的通项公式
（2）若不等式设2ⁿ•S_n＞m•2ⁿ-2a_n²对?n∈N⁺恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据函数的特征和数列的递推公式得到数列{a_n²}是以4为首项，以2为公差的等差数列，即可求出{b_n}的通项公式，
（2）先根据错位相减法求出数列数列{b_n}的前n项和为S_n，再分离参数，利用放缩法即可求出m的取值范围．

解答 解：（1）∵f（x）=$\sqrt{{x}^{2}+2}$，正项数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=f（a_n），
∴a_n+1=$\sqrt{{a}_{n}^{2}+2}$，
∴a_n+1²=a_n²+2，
∵a₁=2，
∴a₁²=4，
∴数列{a_n²}是以4为首项，以2为公差的等差数列，
∴a_n²=4+2（n-1）=2（n+1），
∵a_n²=2ⁿ⁺¹b_n，
∴b_n=$\frac{2（n+1）}{{2}^{n+1}}$=$\frac{n+1}{{2}^{n}}$，
（2）S_n=$\frac{2}{2}$+$\frac{3}{{2}^{2}}$+$\frac{4}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n+1}{{2}^{n}}$，
∴$\frac{1}{2}$S_n=$\frac{2}{{2}^{2}}$+$\frac{3}{{2}^{3}}$+$\frac{4}{{2}^{4}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n}}$+$\frac{n+1}{{2}^{n+1}}$，
∴$\frac{1}{2}$S_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+$\frac{1}{{2}^{4}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{n+1}{{2}^{n+1}}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n+1}{{2}^{n+1}}$=$\frac{1}{2}$+1-$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{n+1}{{2}^{n+1}}$，
∴S_n=3-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-$\frac{n+1}{{2}^{n}}$=3-$\frac{n+3}{{2}^{n}}$
∵2ⁿ•S_n＞m•2ⁿ-2a_n²对?n∈N⁺恒成立，
∴2ⁿ•（3-$\frac{n+3}{{2}^{n}}$）＞m•2ⁿ-4（n+1），对?n∈N⁺恒成立，
∴m＜3+$\frac{3n+1}{{2}^{n}}$，而3+$\frac{3n+1}{{2}^{n}}$＞3．
∴m≤3，
故m的取值范围（-∞，3]．

点评 本题考查数列与不等式的综合，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．