Question

3．已知：向量$\vec a\;，\;\vec b\;，\;\vec c\;，\;\vec d$及实数x，y满足|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=1，$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{a}$+（x²-3）$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{d}$=（-y）$\overrightarrow{a}$+x$\overrightarrow{b}$．若$\vec a⊥\vec b$，$\vec c⊥\vec d$且|$\overrightarrow{c}$|≤$\sqrt{10}$
（1）求y=f（x）的函数解析式和定义域
（2）若当$x∈（{1\;，\;\sqrt{6}}）$时，不等式$\frac{f（x）}{x}$≥mx-7恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由向量垂直的性质得y=x³-3x，再由|$\overrightarrow{c}$|≤$\sqrt{10}$，得x⁴-6x²≤0，由此能求出y=f（x）的函数解析式和定义域．
（2）不等式即为x²-3≥mx-7，即m$≤x+\frac{4}{x}$在x∈（1，$\sqrt{6}$）上恒成立，由此能求出实数m的取值范围．

解答 解：（1）∵向量$\vec a\;，\;\vec b\;，\;\vec c\;，\;\vec d$及实数x，y满足
$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{a}$+（x²-3）$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{d}$=（-y）$\overrightarrow{a}$+x$\overrightarrow{b}$．$\vec a⊥\vec b$，$\vec c⊥\vec d$，
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=0，$\overrightarrow{c}•\overrightarrow{d}=0$，
∴-y${\overrightarrow{a}}^{2}$+x（x²-3）${\overrightarrow{b}}^{2}$=0，
∵|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=1，∴y=x³-3x，
∵|$\overrightarrow{c}$|≤$\sqrt{10}$，∴${\overrightarrow{a}}^{2}+（{x}^{2}-3）{\overrightarrow{b}}^{2}$≤10，
∴x⁴-6x²≤0，∴-$\sqrt{6}≤x≤\sqrt{6}$，
∴f（x）=x³-3x，x∈[-$\sqrt{6}，\sqrt{6}$]．
（2）不等式即为x²-3≥mx-7，
即m$≤x+\frac{4}{x}$在x∈（1，$\sqrt{6}$）上恒成立，
故（x+$\frac{4}{x}$）_min=4，∴m≤4，
∴实数m的取值范围是（-∞，4]．

点评 本题考查平面向量运算、向量垂直的性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．