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    19．近年来，空气质量成为人们越来越关注的话题，空气质量指数（AirQualityIndex，简称AQI）是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI大小分为六级，0～50为优；51～100为良；101～150为轻度污染；151～200为中度污染；201～300为重度污染；大于300为严重污染．环保部门记录了2017年某月哈尔滨市10天的AQI的茎叶图如下：
    （1）利用该样本估计该地本月空气质量优良（AQI≤100）的天数；（按这个月总共30天计算）
    （2）现工作人员从这10天中空气质量为优良的日子里随机抽取2天进行某项研究，求抽取的2天中至少有一天空气质量是优的概率；
    （3）将频率视为概率，从本月中随机抽取3天，记空气质量优良的天数为ξ，求ξ的概率分布列和数学期望．

    分析 （1）从茎叶图中可发现该样本中空气质量优的天数为2，空气质量良的天数为4，由此能估计该月空气质量优良的天数．
    （2）利用对立事件概率计算公式能求出抽取的2天中至少有一天空气质量是优的概率．
    （3）由（1）估计某天空气质量优良的概率为$\frac{3}{5}$，ξ的所有可能取值为0，1，2，3，且ξ～B（3，$\frac{3}{5}$），由此能求出ξ的概率分布列和数学期望．

    解答 解：（1）从茎叶图中可发现该样本中空气质量优的天数为2，空气质量良的天数为4，
    故该样本中空气质量优良的频率为$\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$，从而估计该月空气质量优良的天数为30×$\frac{3}{5}$=18
    （2）现工作人员从这10天中空气质量为优良的日子里随机抽取2天进行某项研究，
    基本事件总数n=${C}_{6}^{2}$=15，
    抽取的2天中至少有一天空气质量是优的对立事件是抽取的2天中至少有一天空气质量都不是优，
    ∴抽取的2天中至少有一天空气质量是优的概率：
    p=1-$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{3}{5}$．
    （3）由（1）估计某天空气质量优良的概率为$\frac{3}{5}$，
    ∴ξ的所有可能取值为0，1，2，3，且ξ～B（3，$\frac{3}{5}$），
    $P（ξ=0）={（\frac{2}{5}）^3}=\frac{8}{125}$，
    P（ξ=1）=C31$\frac{3}{5}{（\frac{2}{5}）^2}=\frac{36}{125}$，
    $P（ξ=2）=C_3^2{（\frac{3}{5}）^2}\frac{2}{5}=\frac{54}{125}$，
    $P（ξ=3）={（\frac{3}{5}）^3}=\frac{27}{125}$，
    故ξ的分布列为：

     ξ 0 1 2 3
     P $\frac{8}{125}$ $\frac{36}{125}$ $\frac{54}{125}$ $\frac{27}{125}$
    ∵$ξ～B（3，\frac{3}{5}）$，Eξ=3×$\frac{3}{5}$=1.8．

    点评 本题考查概率、频率、二项分布、离散型随机变量的分布列及数学期望等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，是中档题．

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