Question

14．四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为6的正方形，且PA=PB=PC=PD，若一个半径为1的球与此四棱锥所有面都相切，则该四棱锥的高是$\frac{9}{4}$．

Answer 1

分析 由球的球心在四棱锥P-ABCD的高上，把空间问题平面化，作出过正四棱锥的高作组合体的轴截面，利用平面几何知识即可求出高

解答 解：由题意，四棱锥P-ABCD是正四棱锥，球的球心O在四棱锥的高PH上；
过正四棱锥的高作组合体的轴截面如图所示：
其中PE，PF是斜高，A为球面与侧面的切点，
设PH=h，由几何体可知，RT△PAO∽RT△PHF⇒$\frac{OA}{FH}=\frac{OP}{FP}$
∴$\frac{h-1}{\sqrt{{h}^{2}+3}}=\frac{1}{3}$，解得h=$\frac{9}{4}$，
故答案为：$\frac{9}{4}$

点评 题主要考查了球内切多面体、几何体的结构特征，把空间问题平面化，是解题的关键．属于基础题．