Question

【题目】已知在△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，且满足（2c﹣b）tanB=btanA．
（1）求A的大小；
（2）求 的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：由（2c﹣b）tanB=btanA，及正弦定理得：

（2sinC﹣sinB） =sinB ，

∵sinB≠0，

∴（2sinC﹣sinB） = ，

化简得：2sinCcosA﹣sinBcosA=sinAcosB，由A+B+C=π，

得到：2sinCcosA=sin（A+B）=sinC，

由sinC≠0，得到cosA= ，

∵A∈（0，π），

∴A=

（2）解：∵ = = +2+ =﹣2cosB+ +2

= sinB﹣2cosB+2= sin（B﹣ ）+2，

∵B∈（0， ），B﹣ ∈（﹣ ， ），

∴sin（B﹣ ）∈（﹣ ， ），

∴ sin（B﹣ ）+2∈（0，4）

【解析】（1）根据正弦定理及同角三角函数间的基本关系化简已知的等式（2c﹣b）tanB=btanA，由sinB不为0，在等式两边都除以sinB后，利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简，再由sinC不为0，两边都除以sinC，得到cosA的值，然后由A的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出角A的度数．（2）由余弦定理，正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简所求可得 sin（B﹣ ）+2，结合B的范围，利用正弦函数的图象和性质即可得解．
【考点精析】利用正弦定理的定义和余弦定理的定义对题目进行判断即可得到答案，需要熟知正弦定理:；余弦定理:;;．