Question

已知函数f(x)=2cosxsin(x+

π

3

)-

3

sin2x+sinxcosx．
（1）将函数f（x）化为y=Asin（ωx+?）形式；
（2）是否存在x∈[0，

π

4

]，使得f(x)=

1

2

，若存在，求出x，若不存在，说明理由；
（3）当x∈[0，

π

4

]时，讨论y=f（x）的图象与y=a（a为常数）的图象交点的个数．

Answer 1

分析：（1）利用两角和与差的三角函数公式，二倍角公式化简．
（2）若x∈[0，

π

4

]，求得f（x）∈[1，2]，f（x）≠

1

2

，所以不存在．
（3）当x∈[0，

π

4

]时，求出函数的最值，以及函数的值域，利用单调性，说明函数y=f（x）与y=a（a为常数）的图象的交点的个数

解答：解：（1）f(x)=2cosxsin(x+

π

3

)-

3

sin2x+sinxcosx
=2cosx（

1

2

sinx+

3

2

cosx）-

3

sin²x+sinxcosx
=

3

cos²x-

3

sin²x+2sinxcosx
=

3

cos2x+sin2x
=2sin（2x+

π

3

）．
（2）若x∈[0，

π

4

]，则2x+

π

3

∈[

π

3

，

5π

6

]，sin（2x+

π

3

）∈[

1

2

，1]，
f（x）∈[1，2]，f（x）≠

1

2

，所以不存在．
（3）当x∈[0，

π

4

]时，f（x）=2sin（2x+

π

3

）在区间[0，

π

12

]上是单调增函数，
在区间[

π

12

，

π

4

]是单调减函数，
x∈[0，

π

12

]时，f（x）∈[

3

，2]，
x∈[

π

12

，

π

4

]时f（x）∈[1，2]
当

3

≤a＜2时，函数y=f（x）与y=a（a为常数）的图象的交点的个数为：2；
当a=2或1＜a＜

3

时函数y=f（x）与y=a（a为常数）的图象的交点的个数为：1；
当2＜a或a＜1时，函数y=f（x）与y=a（a为常数）的图象的交点的个数为：0．

点评：本题考查三角函数公式的应用，考查分析问题、解决问题，转化，数形结合的思想和能力．