Question

已知数列{a_n}的前n项和记为S_n，且满足2a_n-1=S_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=a_n-（-1）ⁿ，记T_n=

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

，求证：T_n＜2．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式,数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知得2a₁-1=S₁=a₁，当n≥2时，2a_n-1-1=S_n-1，从而得到{a_n}是以a₁=1为首项，2为公比的等比数列，由此能求出a_n=2^n-1．
（2）当n为偶数时，由

1

bn-1

+

1

bn

=

1

2n-2+1

+

1

2n-1-1

＜(

1

2

)n-2+(

1

2

)n-1，利用等比数列求和公式能证明T_n＜2．当n是奇数时，T_n=

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

＜

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

+

1

bn+1

＜2．由此能证明T_n＜2．

解答： （1）解：∵2a_n-1=S_n，①
∴当n=1时，2a₁-1=S₁=a₁，解得a₁=1，（1分）
当n≥2时，2a_n-1-1=S_n-1，②（2分）
①②两式相减得：2a_n-2a_n-1=a_n，
即a_n=2a_n-1，（5分）
∴{a_n}是以a₁=1为首项，2为公比的等比数列，
∴a_n=2^n-1．（6分）
（2）证明：当n为偶数时，

1

bn-1

+

1

bn

=

1

2n-2+1

+

1

2n-1-1

=

2n-2+2n-1

22n-3+2n-1-2n-2-1

（7分）
＜

2n-2+2n-1

22n-3

=(

1

2

)n-2+(

1

2

)n-1，（10分）
∴T_n＜(

1

2

)0+(

1

2

)+(

1

2

)2+…+(

1

2

)n-1=2（1-

1

2n

）＜2．（11分）
当n是奇数时，T_n=

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

＜

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

+

1

bn+1

＜2．
综上可知T_n＜2．（14分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意构造法和分类讨论思想的合理运用．