Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n，满足S_n=a（S_n-a_n+1）（a为常数，且a＞0），且4a₃是a₁与2a₂的等差中项．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=（2n+1）a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知得S₁=a₁=a（a₁-a₁+1），S_n-1=a（S_n-1-a_n-1+1），从而{a_n}是首项为a公比为a的等比数列，进而an=a•an-1=aⁿ．由4a₃是a₁与2a₂的等差中项，得8a³=a+2a²，由此能求出a_n=（

1

2

）ⁿ．
（Ⅱ）由b_n=（2n+1）a_n=（2n+1）•（

1

2

）ⁿ，利用错位相减法能求出Tn=5-(2n+5)(

1

2

)n．

解答： 解：（Ⅰ）∵S_n=a（S_n-a_n+1），
∴S₁=a₁=a（a₁-a₁+1），解得a₁=1，
当n≥2时，S_n=a（S_n-a_n+1），S_n-1=a（S_n-1-a_n-1+1），
两式相减，得a_n=a•a_n-1，∴

an

an-1

=a，
∴{a_n}是首项为a公比为a的等比数列，
∴an=a•an-1=aⁿ．
∵4a₃是a₁与2a₂的等差中项，
∴8a₃=a₁+2a₂，即8a³=a+2a²，
解得a=

1

2

，或a=0（舍），或a=-

1

4

（舍），
∴a_n=（

1

2

）ⁿ．
（Ⅱ）∵b_n=（2n+1）a_n=（2n+1）•（

1

2

）ⁿ，
∴T_n=3×

1

2

+5×(

1

2

)2+7×(

1

2

)3+…+(2n+1)•(

1

2

)n，①

1

2

Tn=3×(

1

2

)2+5×(

1

2

)3+7×(

1

2

)4+…+(2n+1)×(

1

2

)n+1，②
①-②得：

1

2

Tn=

3

2

+2×[(

1

2

)2+(

1

2

)3+…+(

1

2

)n]-(2n+1)×(

1

2

)n+1
=

3

2

+2×

1 4 -( 1 2 )n+1

1- 1 2

-(2n+1)×(

1

2

)n+1
=

5

2

-(2n+5)(

1

2

)n+1，
∴Tn=5-(2n+5)(

1

2

)n．

点评：本题主要考查数列的通项公式、前n项和公式的求法，考查等差数列、等比数列等基础知识，考查抽象概括能力，推理论证能力，运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，解题时要注意错位相减法的合理运用．