Question

给出下列命题：
①函数y=

x

x2+4

在区间[1，3]上是增函数；
②函数f（x）=2^x-x²的零点有3个；
③函数y=sin x（x∈[-π，π]）图象与x轴围成的图形的面积是S=

∫

x -x

sinxdx；
④若

a

•

b

＜0，则＜

a

，

b

＞的夹角为钝角．
其中真命题是

 

（写出所有真命题的序号）．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：①函数f（x）=

x

x2+4

，x∈[1，3]，f′（x）=

4-x2

(x2+4)2

，利用导数研究其单调性即可判断出正误；
②由f（-1）f（0）=(

1

2

-1)•(1-0)＜0，可得在区间（-1，0）内存在一个零点，另外f（2）=f（4）=0，即可判断出正误；
③函数y=sin x（x∈[-π，π]）图象与x轴围成的图形的面积是S=2

∫

π 0

sinxdx≠

∫

x -x

sinxdx，即可判断出正误；
④若

a

•

b

＜0，则＜

a

，

b

＞的夹角为钝角或平角，即可判断出正误．

解答： 解：①函数f（x）=

x

x2+4

，x∈[1，3]，f′（x）=

4-x2

(x2+4)2

，当1≤x＜2时，f′（x）＞0，因此函数在此区间上是增函数；当2＜x≤3时，f′（x）＜0，因此函数在此区间上是减函数，因此是假命题；
②∵f（-1）f（0）=(

1

2

-1)•(1-0)＜0，∴在区间（-1，0）内存在一个零点，另外f（2）=f（4）=0，因此函数f（x）=2^x-x²的零点有3个，是真命题；
③函数y=sin x（x∈[-π，π]）图象与x轴围成的图形的面积是S=2

∫

π 0

sinxdx≠

∫

x -x

sinxdx，是假命题；
④若

a

•

b

＜0，则＜

a

，

b

＞的夹角为钝角或平角，因此是假命题．
其中真命题是②．
故答案为：②．

点评：本题考查了利用当时研究函数的单调性、微积分基本定理、函数零点存在定理、向量夹角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．