Question

设公差不为0的等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S₅=3a₅-2，a₁，a₂，a₅依次成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=

1

anan+1

（n∈N^*），求数列{b_n}的前n项和为T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件利用等差数列通项公式和前n项和公式及等比数列性质，得5a₁+10d=3（a₁+4d）-2，(a1+d)2=a1(a1+4d)，由此求出a₁=1，d=2，从而能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由b_n=

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，利用裂项求和法能求出数列{b_n}的前n项和为T_n．

解答： 解：（1）设等差数列{a_n}的公差这d，
则S₅=5a₁+10d，
∴5a₁+10d=3（a₁+4d）-2，
整理，得a₁=d-1，
∵a₁，a₂，a₅依次成等比数列，
∴a22=a1a5，即(a1+d)2=a1(a1+4d)，
整理，得d=2a₁，
解得a₁=1，d=2，
∴a_n=2n-1．
（2）b_n=

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
∴T_n=

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）
=

1

2

(1-

1

2n+1

)
=

n

2n+1

．

点评：本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．