Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，且点A（a_n，a_n+1）（n∈N^*）在直线y=x+2上，数列{b_n}的前n项和为S_n，且S_n=2b_n-2（n∈N^*）
（Ⅰ）求数列{a_n}及{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设c_n=b_nsin²

nπ

2

-a_ncos²

nπ

2

（n∈N^*），求数列{c_n}的前2n项和T_2n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列与函数的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知得a_n+1=a_n+2，从而{a_n}是等差数列，公差为2，首项a₁=1，由此能求出a_n=2n-1．当n=1时，S₁=b₁=2b₁-2，当n≥2时，b_n=S_n-S_n-1=2b_n-2b_n-1，从而{b_n}是等比数列，公比为2，首项b₁=2，由此能求出bn=2n．
（Ⅱ）由已知得cn=

2n，n为奇数 -(2n-1)，n为偶数

，由此能求出数列{c_n}的前2n项和T_2n．

解答： 解：（Ⅰ）数列{a_n}满足a₁=1，且点A（a_n，a_n+1）（n∈N^*）在直线y=x+2上，
∴a_n+1=a_n+2，…（1分）
∴{a_n}是等差数列，公差为2，首项a₁=1，∴a_n=2n-1．…（3分）
又当n=1时，S₁=b₁=2b₁-2，解得b₁=2，…（4分）
当n≥2时，b_n=S_n-S_n-1=2b_n-2b_n-1，…（5分）
∴b_n=2b_n-1，n≥2，
∴{b_n}是等比数列，公比为2，首项b₁=2，
∴bn=2n，…（6分）
（Ⅱ）∵c_n=b_nsin²

nπ

2

-a_ncos²

nπ

2

（n∈N^*），
∴cn=

2n，n为奇数 -(2n-1)，n为偶数

，…（9分）
T_2n=（b₁+b₃+…+b_2n-1）-（a₂+a₄+…+a_2n）…（11分）
=（2+2³+…+2^2n-1）-[3+7+…+（4n-1）]
=

22n+1-2

3

-2n²-n．…（13分）

点评：本题主要考查数列的通项公式、前n项和公式的求法，考查等差数列、等比数列等基础知识，考查抽象概括能力，推理论证能力，运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想．