Question

已知函数f（x）=

ax-b

x2+1

与函数g（x）=

1

2

lnx在点（1，0）处有公共的切线．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求证：g（x）≥f（x）在x∈[1，+∞）上恒成立．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（1）求函数的导数，根据导数的几何意义即可求函数f（x）的解析式；
（2）构造函数，求函数的导数，利用导数求函数的最值即可．

解答： 解：（1）由g（1）=0，g′（1）=

1

2

得f（1）=0，f′（1）=

1

2

，
∴f（1）=

a-b

2

=0，化简得a=b
由f′（x）=

a(x2+1)-2x(ax-b)

(x2+1)2

=

-ax2+2bx+a

(x2+1)2

得：
f′（1）=

-a+2b+a

4

=

1

2

，联立解得：a=1，b=1
∴f（x）=

x-1

x2+1

．
（2）由已知得lnx≥

2x-2

x2+1

在[1，+∞）上恒成立
化简（x²+1）lnx≥2x-2，
即x²lnx+lnx-2x+2≥0在[1，+∞）上恒成立
设h（x）=x²lnx+lnx-2x+2，
h′（x）=2xlnx+x+

1

x

-2，
∵x≥1，
∴2xlnx≥0，x+

1

x

≥2，即h′（x）＞0
∴h（x）在[1，+∞）上单调递增，
则h（x）≥h（1）=0，
∴g（x）≥f（x）在x∈[1，+∞）上恒成立．

点评：本题主要考查导数的几何意义以及导数的应用，考查学生的运算能力．